Catatan Kuliah Almer Ibnu Farhan: aljabar simultan

Pendahuluan

Persamaan linear simultan sering terjadi dalam banyak hal terutama dalam bidang ilmu pengetahuan alam dan ilmu keteknikan, dan ini sangat penting untuk dipelajari. Pada Bab ini kita akan lebih memperhatikan solusi dalam penyelesaian n persamaan aljabar linear dalam n yang tidak diketahui. jadi persamaan linear simultan adalah suatu bentuk persamaan yang secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas. bentuk persamaan linear simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut :

dimana,

a i j , untuk i = 1 s/d m, dan j = 1 s/d n (koefisien ayau persamaan simultan)

x i , untuk i = 1 s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan.

Penyelesaian persamaan linear simultan adalah penentuan nilai x dan i untuk semua nilai i = 1s/d n yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. seperti pada gambar diatas variabel tersebut dapat diselesaikan dengan cara persamaan aljabar simultan dengan menggunakan bentuk matriks, yaitu :

dimana,

Matriks A = matriks koefisien atau matrix jacobian

vektor B = vektpr konstanta

vektor x = vektor variabel

matriks perluasan (Augmentes Matrix) dari persamaan linear simultan adalah matriks yang merupakan perluasan matriks A dengan menambahkan vektor B pada kolom terakhir, dan dituliskan sebagai berikut :

Teorema Persamaan Aljabar Simultan

seuatu persamaan linear simultan mempunyai penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat sebagai berikut :

ukuran persamaan linear simultan bujur sangkar , dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel bebas.
persamaan linear simultannnon - homogen dimana minimal satu nilai vektor konstanta B tidak nol atau ada bilangan tidak sama dengan 0
determinan dari matrik koefisien persamaan linear simultan tidak sama dengan 0

Dalam persamaan aljabar simultan umumnya menggunakan metode :

metode Eliminasi Gauss
metode Cramer
pivoting
Gauss seidel
Gauss - jordan

1. Metode Eliminasi Gauss

Metode Gauss adalah suatu tahapan untuk memecahkan persamaan dengan cara mereduksi / menyederhanakan matriks persamaan tesebut. Prosedur dalam metode Gauss akan menghasilkan bentuk matriks pada eselon tereduksi.

1.1 Teorema Gauss

Jika baris tidak terdiri seluruhnya dari nol, maka bilangan tak nol pertama dalam baris tersebut adalah 1. (di sebut 1 utama)
Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri nol, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama dibawah matriks
Dalam sebarang dua baris yang berturutan yang seluruhnya tidak terdiri dari nol, maka 1 utama dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan dari 1 utama dalam baris yang lebih tinggi.
Masing-masing kolom yang mengandung 1 utama mempunyai nol di tempat lain.

Contoh :

Untuk mencari penyelesaian persamaan :

x+2y+4z=16(I)

3x+y-z=4(II)

2x+3y+z=10(III)

Nilai x,y,z = ??

Pembahasan :

Matriks :

Sehingga nilai x = 2, y = 1 dan z = 3.

kesimpulan : metode gauss erat kaitannya dengan proses eliminasi dan back subtitusion.

Kelebihan : tidak perlu menghafal rumus. cukup memahami konsep eliminasi dan subtitusi

Kekurangan : lebih lama karena dituntut step by step dan memerlukan kemampuan logika yg tinggi agar algoritma lebih sedikit step penyelesaiannya

Contoh pengaplikasian pada visual basic lengkap dengan algoritma : klik disini

2. Metoda Cramer

Metode cramer didasarkan pada perhitungan determinan matriks. Suatu sistem persamaan linear membentuk Ax=b dengan A adalah matriks bujur sangkar dapat dikerjakan dengan metode cramer, jika hasil perhitungan menunjukkan bahwa det(A) tidak sama dengan 0. penyelesaian yang didapatkan dengan metode ini adalah penyelesaian tunggal.

Diketahui suatu sistem persamaan linear berbentuk Ax=b dengan A adalah matris bujur sangkar berukuran nxn dan det(A) tidak sama dengan 0 sedangan nilai x dan b adalah :